ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

 

Численное решение задач, связанных с теплообменом, течением жидкости и другими сопутствующими процессами, можно начи­нать, когда законы, управляющие этими процессами, выражены в математической форме, обычно в виде дифференциальных урав­нений. Подробный и полный вывод этих уравнений можно найти в стандартных учебниках. Наша цель заключается в ознакомле­нии с видом и смыслом этих уравнений. Будет показано, что все рассматриваемые здесь уравнения имеют одинаковую форму, опре­деление которой является первым шагом в создании общего метода решения. Будут также рассмотрены некоторые свойства незави­симых переменных, использованных в этих уравнениях.

Смысл дифференциального уравнения. Каждое из рассматриваемых здесь дифференциальных уравнений выражает определенный закон сохранения. В каждом уравнении в качестве зависимой переменной используется некоторая физическая величина и отражен баланс между различными факторами, влияющими на эту переменную. Обычно зависимыми переменными в этих дифференциальных уравнениях являются удельные свойства, т. е. свойства, отнесенные к единице массы. Примерами являются массовая кон­центрация, скорость (т. е. количество движения единицы массы) и удельная энтальпия. Члены дифференциального уравнения та­кого типа выражают воздействия на единицу объема. Поясним сказанное на примере. Пусть  — поток некоторой зависимой пере­менной . Рассмотрим показанный на рис. 1.1 контрольный объем, стороны которого равны ,  и . Поток, втекающий через одну поверхность площадью , обозначим  (— составляю­щая вектора ), а поток, вытекающий через противоположную поверхность, обозначим . Таким образом, чистое истечение через площадку поверхности равно . Рассматривая аналогичным образом потоки в направлениях  и , а также замечая, что  — величина рассматриваемого объема, получаем чистое истечение на единицу объема

.	(1.1)

Такая интерпретация  особенно полезна ввиду того, что, как будет видно ниже, построение численного метода будет вы­полняться на основе принципа баланса для контрольного объема.

Рис. 1.1. Баланс потоков через контрольный объем

К единице объема относится также член , который описывает скорость изменения. Если  — удельное свойство, а  — плотность, то  — количе­ство соответствующего экстенсив­ного свойства в единице объема. Таким образом,  — ско­рость изменения соответствующе­го свойства в единице объема.

Дифференциальное уравнение состоит из членов, каждый из которых выражает воздействие на единицу объема, а сумма — баланс этих воздействий. Рассмотрим для примера несколько стандартных дифференциальных уравнений и получим их обоб­щенную форму.

Сохранение химической компоненты. Пусть  — массовая кон­центрация химической компоненты. При наличии поля скорости и уравнение сохранения  записывается в виде

.	(1.2)

Здесь  — скорость изменения массы компоненты в еди­нице объема;  — конвективный поток компоненты, т. е. поток, переносимый общим полем течения ;  — диффузионный поток, обусловленный чаще всего градиентом массовой концентрации . Дивергенция этих двух потоков (конвективного и диффузионного) составляет второй член дифференциального уравнения. Величина  в правой части обозначает скорость образования компоненты в единице объема, обусловленного химической реакцией. Заметим, что в зависимости от того, что происходит в действительности — образование компоненты или ее уничтожение,  может быть по­ложительной или отрицательной. Для нереагирующей компоненты .

Если для  справедлив закон Фика, то можно записать

,	(1.3)

где  — коэффициент диффузии. При подстановке (1.3) в (1.2) получаем

.	(1.4)

Уравнение энергии. В наиболее общем виде это уравнение включает воздействия большого количества факторов. Так как нас интересует, скорее, форма, а не подробная запись членов уравнения, достаточно рассмотреть несколько частных случаев.

В случае стационарного течения с небольшой скоростью и пренебрежимо малой вязкой диссипацией уравнение энергии мож­но представить в виде

,	(1.5)

где  — удельная энтальпия;  — коэффициент теплопроводности;  — температура;  — объемная скорость выделения теплоты. Член  описывает влияние переноса теплоты тепло­проводностью внутри жидкости согласно с законом Фурье.

Для идеальных газов, твердых тел и жидкостей можно запи­сать

.	(1.6)

Здесь  — удельная теплоемкость при постоянном давлении. Под­ставив это выражение в уравнение энергии, получим

.	(1.7)

Если  постоянна, то зависимость  от  упрощается до

	(1.8)

и уравнение энергии принимает следующий вид:

.	(1.9)

Подобным образом можно выбирать в качестве зависимой пере­менной энтальпию или температуру.

Если считать скорость , то получим уравнение стационарной теплопроводности

.	(1.10)

Уравнение количества движения. Для ньютоновской жидкости дифференциальное уравнение, выражающее сохранение количества движения в данном направлении, можно записать аналогичным образом. Однако это сделать несколько сложнее, так как надо рассматривать касательное и нормальное напряжения, а также из-за большей сложности закона вязкого трения Стокса по сравне­нию с законом Фика или законом Фурье. Пусть -составляющая скорости равна , тогда соответствующее уравнение количества движения примет вид

,	(1.11)

где  —коэффициент вязкости;  — давление;  — -составляющая объемной силы (приложенной к единице объема); — допол­нительные к  вязкие члены.

Усредненные по времени уравнения для турбулентного течения. В практических приложениях течения обычно имеют турбулент­ный характер, и интерес представляют, как правило, средние по времени характеристики таких течений. Поэтому с помощью опе­рации усреднения уравнения для нестационарного ламинарного течения преобразуются в усредненные по времени уравнения для турбулентного течения. При этом предполагается, что имеют место быстрые случайные пульсации усредняемой величины около сред­него значения. В результате операции усреднения возникают до­полнительные члены — так называемые напряжения Рейнольдса, турбулентный тепловой поток, турбулентный диффузионный поток и т. д. Задачей модели турбулентности является выражение этих потоков через средние характеристики течения.

Во многих моделях турбулентности для выражения турбулент­ных напряжений и потоков используется концепция коэффициен­тов турбулентной вязкости и диффузии. В результате усредненные по времени уравнения для турбулентного течения имеют тот же вид, что и уравнения для ламинарного течения, с той лишь раз­ницей, что коэффициенты молекулярного обмена, такие, как коэф­фициенты вязкости, диффузии и теплопроводности, заменяются на эффективные (т. е. молекулярные плюс турбулентные) коэффи­циенты обмена. С вычислительной точки зрения турбулентное те­чение эквивалентно, в рамках такого подхода, ламинарному тече­нию с довольно сложной зависимостью для коэффициента вязкости (это же справедливо и для течения неньютоновской жидкости, которое можно рассматривать как течение среды с зависящим от градиента скорости коэффициентом вязкости).

Уравнение для кинетической энергии турбулентности. В ши­роко распространенной в настоящее время модели турбулентности, в качестве одного из уравне­ний входит уравнение для кинетической энергии  пульсационного движения, имеющее вид

,	(1.12)

где  — коэффициент диффузии ;  — скорость генерации энер­гии турбулентности;  — скорость диссипации. В целом величина  —источниковый член уравнения. Аналогичное дифферен­циальное уравнение записывается для переменной .

Обобщенное дифференциальное уравнение. Краткое рассмотре­ние некоторых дифференциальных уравнений, описывающих тепло­обмен и гидродинамику, показывает, что интересующие нас зави­симые переменные подчиняются обобщенному закону сохранения. Если обозначить зависимую переменную , то обобщенное диф­ференциальное уравнение примет вид

,	(1.13)

где  — коэффициент диффузии;  — источниковый член. Кон­кретный вид  и  зависит от смысла переменной .

В обобщенное дифференциальное уравнение входят четыре члена: нестационарный, конвективный, диффузионный и источниковый. Зависимая переменная  обозначает различные величины, такие, как массовая концентрация химической компоненты, энталь­пия или температура, составляющая скорости, кинетическая энер­гия турбулентности или масштаб турбулентности. При этом коэф­фициенту диффузии  и источниковому члену  следует придать соответствующий каждой из этих переменных смысл.

Не все диффузионные потоки определяются градиентом соот­ветствующей переменной. Однако запись диффузионного члена уравнения в виде  не ограничивает применение об­общенного уравнения для  случаями, когда диффузионные про­цессы обусловлены соответствующими градиентами. Ту часть диф­фузионного члена уравнения, которую нельзя выразить в указан­ном виде, всегда можно записать как часть источникового члена; фактически коэффициент диффузии  можно даже считать равным нулю.

Явная запись диффузионного члена в обобщенном уравнении для  через ее градиент использовалась потому, что для большин­ства зависимых переменных диффузионный член имеет именно такой вид.

Входящая в (1.13) плотность может быть связана с такими переменными, как массовая концентрация и температура, через уравнение состояния. Эти переменные и составляющие скорости также подчиняются обобщенному дифференциальному уравнению. Кроме того, поле скорости должно удовлетворять дополнительному ограничению, а именно закону сохранения массы или уравнению неразрывности, имеющему вид

.	(1.14)

Уравнения (1.13) и (1.14) записаны в векторном виде. Эти уравне­ния можно представить также в тензорной форме в декартовой системе координат:

,	(1.15)

,	(1.16)

где нижний индекс  в соответствии с тремя пространственными координатами принимает значения 1, 2, 3. Повторение этого ин­декса дважды обозначает суммирование трех аналогичных членов, например

,	(1.17)

.	(1.18)

Одно из достоинств тензорной записи в декартовой системе коор­динат заключается в том, что одномерный вид уравнения можно получить, если просто опустить индекс . Процедура записи диф­ференциального уравнения в обобщенном виде (1.13) заключается в его преобразовании до тех пор, пока нестационарный, диф­фузионный и источниковый члены уравнения для данной зависимой переменной не примут стандартный вид. Тогда в качестве выра­жения для  берут коэффициент перед  в диффузионном члене, а все оставшиеся члены в правой части обозначают  (источниковый член).

До сих пор мы рассматривали размерные переменные, однако иногда удобнее иметь дело с безразмерными величинами. При этом также можно считать, что каждое из дифференциальных уравнений, записанное через безразмерные переменные, можно пред­ставить в обобщенном виде (1.13), где  — безразмерная зависи­мая переменная, а  и  — безразмерные коэффициент диффузии и источниковый член. Во многих случаях безразмерный коэффи­циент , a  принимает значения 0 либо 1.

Тот факт, что все интересующие нас дифференциальные урав­нения, описывающие тепло- и массообмен, гидродинамику и турбу­лентность, можно рассматривать как частные случаи обобщенного уравнения для , позволяет ограничиться численным решением (1.13). Следовательно, при создании программы расчета доста­точно записать общую последовательность операций для решения уравнения (1.13), которую можно применять для нахождения раз­личных  при использовании соответствующих выражений для  и  и, конечно, соответствующих начальных и граничных условий. Таким образом, концепция обобщенного уравнения позволяет сфор­мулировать обобщенный численный метод и подготовить многоце­левые программы расчета.