ВЫБОР КООРДИНАТ

 

Обратимся к независимым переменным и их свойствам с вычисли­тельной точки зрения.

Независимые переменные. В общем случае зависимая перемен­ная  является функцией трех пространственных координат и времени:

.	(1.19)

где , ,  и  — независимые переменные. При численном решении необходимо выбрать пределы изменения независимых переменных, в которых надо рассчитать значения .

Не всегда требуется рассматривать все четыре независимые переменные. С уменьшением числа рассматриваемых независимых переменных уменьшается количество точек, в которых необходимо рассчитать значения переменной .

Задача, в которой физические величины зависят только от одной пространственной координаты, называется одномерной. За­висимость от двух пространственных координат приводит к двух­мерной задаче, а от трех — к трехмерной. Если задача не вклю­чает в себя зависимость от времени, она называется стационарной. В противном случае она называется нестационарной.

Выбор таких независимых переменных, как в (1.19), не яв­ляется единственно возможным. Вместо того чтобы описывать стационарное распределение температуры как , можно записать

,	(1.20)

где  — зависимая переменная, обозначающая высоту изотерми­ческой поверхности, соответствующую значению  в точке . Основанный на таком представлении метод известен как метод смещения изотерм. Однако применение этого метода ограничено случаями, когда поле температуры монотонно зависит от координаты; в более общих случаях при заданных значениях ,  и  высота  может прини­мать несколько значений, что с точки зрения численного расчета делает выбор координаты  в качестве зависимой переменной не­удовлетворительным.

Правильный выбор координат. Так как число узловых точек должно, вообще говоря, быть связано с числом независимых пере­менных, можно упростить задачу, используя меньшее количество независимых переменных. Иногда это достигается разумным выбо­ром системы координат. Ниже на нескольких частных примерах будет показано влияние выбора системы координат на число неза­висимых переменных.

1. Течение около движущегося с постоянной скоростью само­лета нестационарно, если его рассматривать в стационарной си­стеме координат, и стационарно относительно движущейся системы координат, связанной с самолетом.

2. Осесимметричное течение в круглой трубе является трех­мерным в декартовой системе координат и двухмерным в цилиндри­ческнх координатах ,  и , так как

,	(1.21)

и не зависит от .

3. Преобразование координат также позволяет уменьшить число независимых переменных. Рассмотрим примеры.

а) Двухмерный ламинарный пограничный слой на плоской пластине имеет автомодельный характер, при этом скорость  за­висит только от переменной

,	(1.22)

где  — размерная постоянная. Итак, двухмерная задача сводится к одномерной.

б) В нестационарной задаче теплопроводности в полубесконеч­ном твердом теле независимыми являются переменные  и . Однако можно показать (при некоторых простых граничных усло­виях), что температура зависит только от переменной

,	(1.23)

где  — соответствующая размерная постоянная.

4. Преобразование зависимой переменной также может при­вести к уменьшению числа независимых переменных. Приведем примеры.

а) При полностью развитом течении в канале температура  зависит от координаты , направленной вдоль течения, и попереч­ной координаты . Однако в области стабилизированного тепло­обмена при постоянной температуре стенки  имеем

,	(1.24)

где

;

 — среднемассовая температура, которая меняется с измене­нием .

б) Течение в плоской свободной струе является двухмерным. Однако можно записать, что

,	(1.25)

где

; .	(1.26)

Здесь  — скорость на оси;  — координата, направленная попе­рек течения;  — характерная ширина струи. Как , так и  изменяются с изменением продольной координаты . Несмотря на то, что в большинстве случаев в качестве независимых переменных используются координаты , ,  и , следует помнить, что все изложенное пригодно и при использова­нии других систем координат или преобразованных переменных. Правда, для эффективности расчетов численный метод должен всегда использоваться с подходящей системой координат.

Односторонние и двухсторонние координаты. Рассмотрим те­перь новые соображения о свойствах координат, а затем установим связь между ними и стандартной математической терминологией.

Определения. Двухсторонней координатой называется коорди­ната, для которой условия протекания процессов с одной стороны от точки на координатной линии зависят от условий с другой сто­роны. В противоположном случае координата называется одно­сторонней.

Примеры. Рассмотрим одномерную стационарную теплопровод­ность в стержне. На температуру в каждой точке стержня могут влиять изменения температуры на любом из концов стержня. Обычно пространственные координаты являются двухсторонними, время — всегда односторонняя координата. В течение нестационар­ного охлаждения твердого тела на значение температуры в данный момент времени может оказать влияние только то, что происхо­дило перед этим моментом.

Односторонний характер пространственной координаты. Сле­дует отметить, что пространственная координата под воздействием течения жидкости также может стать почти односторонней. Если имеет место сильное течение вдоль направления координаты, то любые изменения рассматриваемых полей перемещаются только из области выше по течению от данной точки в область ниже по течению и на условия протекания процессов в точке влияют, глав­ным образом, условия выше по течению, а влияние условий ниже по течению совсем мало. Односторонний характер пространствен­ной координаты является приближенным. Действительно, конвек­ция — односторонний процесс, а диффузия (которая всегда имеет место) — процесс двухсторонний. Однако при большой скорости течения конвекция подавляет диффузию и, таким образом, делает пространственную координату почти односторонней.

Термины параболический, эллиптический, гиперболический. Оказывается, что математические термины параболический и эллиптический, используемые для классификации дифференциаль­ных уравнений, соответствуют нашим вычислительным концепциям односторонней и двухсторонней координат. Первый термин озна­чает одностороннее поведение, второй — двухстороннее.

Имело бы больше смысла определять задачи как параболиче­ские или эллиптические по данной координате. Таким образом, нестационарная задача теплопроводности, которую обычно назы­вают параболической, на самом деле параболична по времени и эллиптична по пространственным координатам. Стационарная задача теплопроводности эллиптична по всем координатам. Двух­мерный пограничный слой параболичен по направленной вдоль течения координате и эллиптичен по поперечной координате.

Так как такие описания не являются общепринятыми, связь с установившейся практикой описаний можно, по-видимому, уста­новить с помощью следующего правила.

Задача параболична, если существует, по крайней мере, одна односторонняя координата; в противном случае она эллиптична.

Течение с одной односторонней координатой иногда называют течением типа пограничного слоя, а течение со всеми двухсторон­ними координатами относят к рециркуляционным течениям.

А что же можно сказать о гиперболичности?  Получилось так, что гиперболическая задача не соответствует вычислительной клас­сификации. Гиперболические задачи имеют в некотором роде одно­стороннее, поведение, однако не вдоль координатных направлений, а вдоль специальных линий, называемых характеристиками. Име­ются численные методы, использующие наличие характеристик, но их применение ограничено гиперболическими задачами. Кроме того, численный метод не основывается на специальном характере гиперболических задач. Будем в дальнейшем считать гиперболические задачи элементами общего класса эллиптических задач (т. е. со всеми двухсторонними координатами).

Следствия. Из рассуждений, проведенных выше, следует, что если в данной задаче можно указать одностороннюю координату, то возможна значительная экономия памяти ЭВМ и времени счета. Рассмотрим нестационарную двухмерную задачу теплопроводности. Образуем двухмерный массив узловых точек в расчетной области. В любой момент времени будет иметь место соответствующее двух­мерное температурное поле. Это поле должно быть обработано на ЭВМ во все последовательные моменты времени. Так как время является односторонней координатой, температурное поле в дан­ный момент времени не зависит от будущих температурных полей. Действительно, полная нестационарная задача может быть сведена к повторениям одного основного шага, а именно: задано темпе­ратурное поле в момент времени , вычисляется температурное поле в момент времени . Таким образом, машинная память потребуется только для этих двух температурных полей; этот же объем памяти можно снова использовать при всех шагах по вре­мени.

Начав с заданного начального температурного поля, подобным образом можно продвинуться до последующих моментов времени. В течение любого шага по времени одновременно обрабатываемые неизвестные образуют только один двухмерный массив темпера­тур. Они не связаны со всеми значениями температур в будущие моменты времени, а влияющие на них значения в предыдущие моменты известны. Таким образом, необходимо решать намного более простую систему уравнений, что значительно сокращает время счета.

Аналогично путем продвижения по направленной вдоль потока координате рассчитывается двухмерный пограничный слой. При данных значениях зависимых переменных в одном поперечном се­чении, расположенном выше по потоку от расчетной области нахо­дятся значения в последующих сечениях. Для расчета двухмерного течения требуется только одномерный массив памяти ЭВМ. Ана­логичным образом параболичное в направлении потока трехмерное течение в канале можно рассматривать как последовательность двухмерных задач для следующих друг за другом поперечных сечений.