СУЩНОСТЬ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

Задача. Численное решение дифференциального уравнения со­стоит из набора чисел, по которому можно построить распределе­ние зависимой переменной . В этом смысле численный метод подобен лабораторному эксперименту, где мы имеем возможность определить распределение измеряемой величины в рассматривае­мой области по набору показаний приборов. И исследователи, применяющие численный анализ, и экспериментаторы должны до­вольствоваться результатом, состоящим из конечного числа зна­чений, хотя их количество можно, по крайней мере, в принципе сделать достаточным для практических целей.

Предположим, что мы хотим описать изменение  с помощью полинома

	(2.1)

и используем для определения значений конечного числа коэффи­циентов , , , …,  численный метод. Это позволит рассчи­тать значения  в любой точке  путем подстановки значения  и значений  в (2.1). Однако если конечная цель заключается в определении значений  в различных точках, эта процедура несколько неудобна. Сами по себе значения коэффициентов  не представляют особого интереса, а для получения требуемых зна­чений  необходимо выполнить операцию подстановки. Данное рассуждение наводит на следующую мысль: почему бы не раз­работать метод, в котором в качестве первичных неизвестных использовались значения  в некоторых заданных точках? Дей­ствительно, большинство методов численного решения дифферен­циальных уравнений принадлежит как раз к этой категории, и поэтому ограничимся только такими методами.

Итак, в качестве основных неизвестных в численном методе рассматриваются значения зависимой переменной в конечном числе точек (называемых сеточными узлами или узловыми точками) расчетной области. Метод включает в себя получение системы алгебраических уравнений для этих неизвестных и алгоритм ре­шения этих уравнений.

Концепция дискретизации. Рассматривая значения в узловых точках, мы заменили непрерывную информацию, содержащуюся в точном решении дифференциального уравнения, дискретными значениями. Таким образом, мы дискретизировали распределе­ние , и этот класс численных методов назовем методами дискретизации.

Алгебраические уравнения, которые назовем дискретным ана­логом исходного уравнения, включающие неизвестные значения  в выбранных узловых точках, получаются из дифференциального уравнения, описывающего изменение величины . При получе­нии этих уравнений надо использовать некоторое предположение о характере изменения  в интервале между узловыми точками. Хотя можно выбрать этот профиль  так, что достаточно одного алгебраического выражения для всей расчетной области, часто бывает более удобным использовать кусочные профили, такие, что данный участок профиля описывает изменение  только в не­большой части этой области через значения  в узловых точках, находящихся внутри и вокруг этой части. Итак, расчетная область разбивается на некоторое число подобластей, с каждой из которых можно связать свой предполагаемый профиль. Это другой аспект концепции дискретизации связан с дискретизацией непрерывной расчетной области. Именно эта систематическая дискретизация пространства и зависимых переменных делает возможным замену дифференциальных уравнений, описывающих процесс, простыми алгебраическими уравнениями, которые могут быть решены отно­сительно просто.

Структура дискретного аналога исходного уравнения. Дис­кретный аналог представляет собой алгебраическое уравнение, связывающее значение  в некоторой группе узловых точек. Это уравнение получается из дифференциального уравнения, описы­вающего изменение , и, следовательно, оно несет ту же физи­ческую информацию, что и дифференциальное уравнение. То, что в дискретный аналог входят значения только в нескольких узло­вых точках, является следствием кусочного характера выбранных профилей. При этом значение  в некоторой узловой точке ока­зывает влияние только на распределение  в ее ближайшей окрестности. Предполагается, что при очень большом числе узло­вых точек решение дискретных уравнений сближается с точным решением соответствующего дифференциального уравнения. Это следует из следующего соображения: при сближении узловых точек изменение  между соседними точками становится малым, а тогда конкретный характер предполагаемого профиля становится несущественным.

Возможные дискретные аналоги данного дифференциального уравнения неединственны, хотя предполагается, что в пределе очень большого числа узловых точек все типы дискретных анало­гов дают одно и то же решение. Отличие дискретных аналогов является следствие различных предположений о характере про­филя зависимой переменной и способов получения аналога.